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数量关系之其他排列组合

1、一个正八面体两个相对的顶点分别为A和B，一个点从A出发，沿八面体的棱移动到B位置，其中任何顶点最多到达1次，且全程必须走过所有8个面的至少1条边，问有多少种不同走法？

A、8

B、16

C、24

D、32

2、宴会上有10个人，要求每个人都要和别人握手但不重复，已知每人最多握手8次，则10个人共握手多少次？（    ）

A、90

B、44

C、45

D、40

3、一批相同的17件产品，交给甲、乙、丙三人生产。已知甲、乙、丙三人生产一件产品所需时间相同，每个人至少分到四件产品的生产任务，三人同时开始生产且完成各自的任务之前不休息。问完成所有工作所需时长有多少种不同的可能性？

A、9

B、8

C、4

D、3

4、春风街道办事处为丰富老年人文化生活，准备举办老年人才艺秀活动，活动项目共有书法、绘画、歌曲演唱、太极拳四项。参加者报名项数不限、每种报名方式最多可报4人。经统计，共有3人同时报名参加书法和绘画项目。据此，参加老年才艺秀活动最多报名（        ）人。

A、68

B、73

C、45

D、47

5、A和B为正方体两个相对的顶点，一个点从A出发沿正方体表面以最短路径移动到B，则其可选择的路线有几条？

A、2

B、3

C、6

D、12

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合。
第二步，在正八面体中，如图所示，上顶点为A，下顶点为B。从A到B，全程必须走过所有8个面的至少1条边，故先经过中间平面上的点1、2、3、4，然后再到达B点。假设从A先到点1，由于任何顶点最多到达1次，则从点1到B，只能1－2－3－4－B或者1－4－3－2－B两条路线。同理，由A先到其他三点，第二步都有2条路线，所以共有4×2＝8（种）。

因此，选择A选项。

2、

第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合。
第二步，宴会有10人，每人最多握手8次，最多共握手8×10＝80（人次），每次握手均被两人各记1次，则10人共握手（次）。
因此，选择D选项。

3、

第一步，本题考查排列组合问题。
第二步，由题意可知，17件相同的产品分给3个人，每人至少四件，不同的分配方式可依次枚举，分别为（4、4、9）、（4、5、8）、（4、6、7）、（5、5、7）、（5、6、6），完成所有工作的时长是由工作量最多者所需时间决定的。故完成所有工作所需时长分别为完成9、8、7、6件所需的时间，共4种。
因此，选择C选项。

4、

解法一：
第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合。
第二步，活动项目共有四项，则报名方式分类如下：
①只报一种，有＝4（种）；
②只报两种，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除，有＝5（种）；
③只报三种，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除，有＝2（种）；
④报四种，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除，有0种。
因此，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除后一共有4＋5＋2＝11（种）。
第三步，要求报名人数最多，则每种报名方式应尽量多。根据每种报名方式最多可报四人，有三人同时报名参加书法和绘画项目，可知最多报名人数为11×4＋3＝47（人）。
因此，选择D选项。
解法二：
第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合，用数字特性法解题。
第二步，设剔除同时报名了书法和绘画项目的方式后有x种方式，可知最多报名人数为（4x＋3）人。即答案－3能被4整除。只有D选项满足。
因此，选择D选项。

5、

第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合，用数形结合法解题。
第二步，从正方体一个顶点出发，沿正方体表面移动到相对顶点，最短路径要经过两个平面，展开如图1。包含顶点B的平面有3个，每个面有2条路径（如图2），最短路径共有3×2＝6（条）。

因此，选择C选项。

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