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数量关系之立体几何类

1、某蓄水池为长方体，其长是宽的2倍，高为3米。如果用每分钟可抽水1立方米的抽水机抽水，10小时可以将满池水抽空。则该蓄水池的宽是多少米？

A、10

B、15

C、20

D、25

2、将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大，问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的？

A、88

B、84

C、96

D、92

3、将一块边长为1米的正方体石材挖空制成下图所示的工艺品，其每个棱的宽度都是0.1米。将该工艺品的整个表面进行磨光处理，每平方厘米的磨光费用为1元，问磨光总费用在以下哪个范围内?

A、不到3万元

B、3~3.5万元之间

C、3.5~4万元之间

D、4万元以上

4、将一个长方体切去一个角后得到的多面体，正好有两个面是三角形，问新得到的多面体有几个顶点？

A、8

B、9

C、10

D、11

5、用一辆小型厢式货车运送荔枝干，该货车货箱长4.2米、宽1.9米、高1.8米。600克装荔枝干的外包装长20厘米，宽和高都是14厘米。那么一次最多可以运送约    吨荔枝干。

A、2.1

B、2.0

C、1.9

D、1.8

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类，用方程法解题。
第二步，根据长是宽2倍，设宽、长分别为x、2x；水池容积等于抽水总量，可得方程：2x×x×3＝1×60×10。解得x＝10。
因此，选择A选项。

2、

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。
第二步，类似切割重构问题，分别从角（顶点）、棱和面三个维度进行讨论。原长方体中，角（顶点）处的小正方体，有4个面被涂色，棱上小正方体的3个面被涂色，剩余面上小正方体的两个相对面被涂色。
第三步，为了让新正方体黑色的面积尽可能大，则让小正方体黑色的面尽量外露。原长方体和新正方体的匹配过程如下表。

第四步，根据“角”位置比原来少4个小正方体，可得缺少黑色面3×4＝12（个），用原来“面”位置多出的4个小正方体，放置在“角”位置，可看到黑色面有1×4＝4（个），这样总共会缺少黑色面12－4＝8（个）。由于每个面的面积为1平方厘米，故正方体黑色面积为4×4×6－1×8＝88（平方厘米）。
因此，选择A选项。

3、

第一步，本题考查几何问题。
第二步，需要磨光的面积包括：①不包括顶角的12个棱柱，每个棱柱4个面，每个面的长都是0.8米即80厘米、宽是0.1米即10厘米。12个棱柱共计48个面，面积为80×10×48＝38400（平方厘米）；②8个顶角，每个顶角3个面，共计24个面，面积为10×10×24＝2400（平方厘米）。那么一共要磨光的面积为38400＋2400＝40800（平方厘米），需要40800元。
因此，选择D选项。

4、

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类，用画图法解题。
第二步，要使切完的多面体正好有两个三角形，则切面必须要经过两个顶点且仅通过两个顶点。如图所示，切面BPD1符合条件，新的多面体顶点数没有任何变化，仍为8个。

因此，选择A选项。

5、

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。
第二步，要使运送的荔枝干最多，则应充分利用货箱空间。分析货箱尺寸与荔枝干的外包装尺寸的关系可知，货箱长4.2米（即420厘米）是20和14的倍数；宽1.9米（即190厘米）不是20或14的倍数；而高1.8米（即180厘米）仅是20的倍数，所以可以沿着货箱高的方向装180÷20＝9（盒）；沿着货箱长的方向装420÷14＝30（盒）；沿着货箱宽的方向装190÷14≈13.57（盒），取整为13盒。
第三步，该货车货箱最多装9×30×13＝3510（盒）荔枝干，重量为3510×600＝2106000（克），即为2.106吨。
因此，选择A选项。

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