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数量关系之平面几何类

1、已知三角形一边长为a。 甲说：“剩下的两条边只要有一条边长变长，则三角形面积一定变大。”乙反对说：“不对，必须要剩下的两条边同时变长，三角形的面积才一定变大。”
下列判断正确的是：

A、甲正确，乙错误

B、甲错误，乙正确

C、甲乙都正确

D、甲乙都错误

2、火车站点A和B与初始发车站C的直线距离都等于a km，站点A在发车站C的北偏东20°，站点B在发车站C的南偏东40°，若在站点A和站点B之间架设火车轨道，则最短的距离为：

A、a km

B、3a km

C、2a km

D、 km

3、某工程队给一个长方形广场铺地砖，已知每平方米铺设成本为25元，若广场的宽不变，长增加5米，总成本则上升1.25万元；若广场的长不变，宽增加3米，总成本则上升1.5万元。则广场原来铺设的总成本为（    ）万元。

A、50

B、60

C、70

D、80

4、某大礼堂有一个长方形舞台ABCD如下图所示，E为CD上一点，F为BC中点。新年晚会时要在三角形BEF处铺蓝色地毯，已知长方形的长AD为9米，宽为长的。若四边形ABCE的周长比三角形ADE长3米，那么需要地毯的面积为（   ）平方米。

A、3.375

B、4.125

C、5.25

D、6.75

5、如图，有大小两个正方形，其对应边的距离均为1厘米，如果两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米?

A、4

B、9

C、16

D、25

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查几何问题。
第二步，一个边长为4的正三角形面积为4√3，将这个三角形变成腰长为4且顶角为120°的等腰三角形，其两条边边长不变，一条边边长增加，但其面积仍为4√3，没有增加故甲的说法错误。
第三步，当一个直角三角形，一个直角边不变时，将三角形变成一个钝角三角形，即使另外两条边长度都增加，面积保持不变，没有增加。

那么甲、乙二人的说法都是错误的。
因此，选择D选项。

2、

第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。
第二步，A、B、C三点位置如图所示，根据A、B两站相对于C站的方位，可得∠ACB＝120°。根据AC、BC都等于a km，可知△ABC为等腰三角形。
第三步，作CD⊥AB于D点，根据AC=a，∠DAC=30°，可得CD=（直角三角形中，30°角所对应的直角边为斜边的一半）。根据勾股定理得AD==，则AB=2AD=km。
       
因此，选择D选项。

3、

第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。
第二步，设广场长、宽分别为a、b。宽不变、长增加5米，总成本上升1.25万元，得5b×25＝12500，解得b＝100。同理，3a×25＝15000，解得a＝200。
第三步，则总成本为200×100×25＝500000（元），即50万元。
因此，选择A选项。

4、

第一步，本题考查几何问题中的平面几何类。
第二步，AD＝9（米），则AB＝9×＝6（米），BF＝4.5（米）。四边形周长ABCD的周长－三角形ADE的周长＝（AB＋BC＋CE＋AE）－（AD＋AE＋DE）＝6＋CE－DE＝3（米），则DE－CE＝3（米），CE＋DE＝6（米），由此可知CE＝1.5（米）。三角形BEF的面积＝×BF×CE＝×4.5×1.5＝3.375（平方米）。
因此，选择A选项。

5、

第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。用方程法解题。
第二步，设小正方形的边长为x，可知大正方形的边长为x＋2；根据两者之间面积为20，可得（x＋2）²－x²＝20，解得x＝4（厘米）。
第三步，则小正方形的面积为x²＝16（平方厘米）。
因此，选择C选项。

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