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数量关系之几何构造类

1、一间房屋的长、宽、高分别是6米、4米和3米，施工队员在房屋内表面上画一条封闭的线，其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状大小完全相同的部分，问其所画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米？

A、6

B、6（）

C、8

D、4（）

2、妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20cm，高为60cm的圆锥形生日帽内藏了一个圆柱形礼物盒。为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面积最大为多少？

A、600πcm²

B、640πcm²

C、800πcm²

D、1200πcm²

3、若干个相同的立方体摆在一起，前、后、左、右的视图都是“凸”，问这堆立方体最少有多少个？

A、4

B、6

C、10

D、8

4、在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边。图中P为一棵直径为1米的树，其与墙CD、AD的最短距离分别是14米和5米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平方米？

A、187

B、192

C、195

D、196

5、有一批边长为1厘米的小正方体，其中一面涂红色的有400个，相邻两面涂红色的有30个，相邻三面涂红色的有1个，其余小正方体各面都没有涂颜色。用这一批小正方体组成一个大正方体，要求这个大正方体有三个面是红色，且这三个面两两相邻，其余的三个面没有颜色。假如没有涂颜色的小正方体数量足够多，那么这个正方体的边长最大是（    ）厘米。

A、10

B、11

C、12

D、13

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类。
第二步，如图所示：

根据所画线将房屋分为2个相同的部分，可知最短距离为矩形EFGH的周长，即2×（3＋4）＝14（米）。最长距离为矩形ABCD的周长，即（米）。
第三步，最长距离和最短距离之间的差是22－14＝8（米）。
因此，选择C选项。

2、

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。

第二步，如右剖面图所示，设圆柱的底面半径OG为r，高EG为h，△CGE∽△COA，故＝，＝，得到h＝60－3r。
第三步，圆柱侧面积S＝2πrh＝2πr（60－3r），整理为S＝－6π＋600π，当r＝10cm时，侧面积S＝0＋600π＝600π最大。
因此，选择A选项。

3、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类，用构造法解题。
第二步，如图所示，在九宫格的对角线上放置3个立方体，再在中心立方体的上方放置1个立方体，即可满足都是凸型且所需立方体数目最少，故最少有4个。
       
因此，选择A选项。

4、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类，用最值理论解题。
第二步，四边形周长固定，越接近于正方形，面积越大，即让矩形ABCD的长与宽越接近越好。树到CD边的最短距离为垂线距离，是14米，树的直径为1米，那么矩形的长AD至少为14＋1＝15（米）；树到AD边的最短距离为垂线距离，是5米，树的直径为1米，那么矩形的宽CD至少为5＋1＝6（米）。
第三步，长与宽越接近，面积越大，因为绳子的长度为28米，那么让长为15米，宽最大为13米，此时矩形面积最大，面积为15×13＝195（平方米）。
因此，选择C选项。

5、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造。
第二步，让三面都涂色的小正方体作为一个顶角，然后与其相相连的三个棱均放置相邻两个面涂色的小正方体，每条棱上各10个，此时需要需要单面涂色的小正方体10×10×3＝300（个），可以满足，故边长最长为10＋1＝11（厘米）。
因此，选择B选项。

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