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数量关系之立体几何类

1、正方体ABCD-中，E、F分别为棱A和C的中点，则平面EF截该正方体所得截面的形状是：

A、三角形

B、四边形

C、五边形

D、六边形

2、有120个棱长为30cm的正方体包装盒，按图示规律堆放在长方体库房的一角，恰好全部堆在一起，且最高的3层形状和图中一致，则该库房的高至少为：

A、2. 4m

B、2. 7m

C、3. 0m

D、3. 3m

3、某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么要造一个深为3米容积为48立方米的无盖贮水池最低造价是多少元？

A、6460

B、7200

C、8160

D、9600

4、表面积相同的正方体和球，其体积之比为：

A、：

B、：6

C、：

D、3:

5、1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后，再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是（        ）个。

A、490

B、488

C、484

D、480

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查几何问题中的立体几何。
第二步，如图所示，连接B 与EF刚好相交，连接BE、BF，平面EF截正方体的截面EBF为四边形。

因此，选择B选项。

2、

第一步，本题考查几何问题。
第二步，观察图形，前3层每层分别为1、3、6，第n层比上一层多n块，则从上至下分别为1、3、6、10、15、21、28、36、45……，1＋3＋……＋36＝120（块），共8层，每层30cm，库房的高至少为：0.3×8＝2.4m。
因此，选择A选项。

3、

解法一：第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类，用方程法解题。
第二步，总体积为48立方米，深度是3米，那么池底的面积为48÷3＝16（平方米），池底的造价＝单价×面积＝150×16＝2400（元）。
第三步，池底的面积为16平方米，设一条底边长为x，则另一条底边长为，池底的周长为，池壁的造价＝周长×高×单价，根据均值不等式易知当时总价最低，即x＝4（米），此时池壁的造价为（元）。
第四步，总价＝池底造价＋池壁造价＝2400＋5760＝8160（元）。
因此，选择C选项。
解法二：第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。
第二步，总容积即总体积为48，则底面积为48÷3=16（平方米）。池底造价一定，总价最低则池壁面积最小。池壁面积=底面周长×深度，由几何性质可知当底面是正方形时池底周长最小，此时池底边长为4米，周长为16米，池壁面积=16×3=48（平方米），池壁造价为48×120=5760（元），池底造价为16×150=2400（元），总价为5760+2400=8160（元）。
因此，选择C选项。

4、

第一步，本题考查几何问题。
第二步，正方体的表面积为6a2，体积公式a3，球的表面积为4πR2，体积为πR3。赋值正方体和球的表面积均为12（6和4的最小公倍数）。
（1）正方体的边长a＝，体积为（）3＝2；
（2）球的半径R＝，体积为4。
第三步，正方体与球的体积之比为2∶4＝∶。
因此，选择A选项。

5、

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。
第二步，大正方体每条边有10个小正方体，被涂油漆的小正方体分为以下3类：
①三面涂油漆：顶点处的8个小正方体；
②两面涂油漆：大正方体共12条棱，每条棱上（除去顶点位置）有8小正方体，有12×8＝96（个）；
③一面涂油漆：大正方体6个表面（除去顶点和棱）的小正方体，有（8×8）×6＝384（个）。
第三步，至少有一面被油漆涂过的数目为8＋96＋384＝488（个）。
因此，选择B选项。

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