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数量关系之二集合容斥类

1、某单位组织员工进行爱心募捐，鼓励员工捐款捐物，所有员工都参加了，其中捐物的有45人，捐款的有75人，既捐款又捐物的有31人，则该单位共有员工（        ）人。

A、89

B、90

C、95

D、99

2、在1至1000的1000个自然数中，既不是4的倍数，也不是5的倍数的数共有多少个?

A、600

B、550

C、500

D、450

3、科室聚餐的时候讨论吃什么，想吃烤肉的有6人，想吃烤鱼的有8人，这两种都不想吃的人数是这两种都想吃的人数的3.5倍。那么这个科室最少有多少人？

A、17

B、22

C、19

D、18

4、电视台向100人调查昨天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？

A、4

B、15

C、17

D、28

5、圣诞节来临，商场欲搭建一个下宽上窄的礼物墙，现有120个相同大小的正方体礼物盒，问有多少种方式可以搭建成一个有5层且各层礼物盒的数量差相同的礼物墙（礼物盒没有剩余）？

A、10

B、11

C、12

D、13

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。
第二步，根据二集合容斥原理公式，总数－两者都不满足的个数＝满足条件1的个数+满足条件2的个数－两者都满足的个数，所有员工都参加了，故两者都不满足的为0，代入数据，得总数＝45＋75－31＝89。
因此，选择A选项。

2、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。
第二步，设既不是4的倍数，也不是5的倍数的数x个。在1至1000的自然数中，4的倍数有（个），5的倍数有 （个），既是4的倍数也是5的倍数（即20的倍数）有（个），根据二集合容斥公式，可得1000＝250＋200－50＋x，解得x＝600。
因此，选择A选项。

3、

第一步，本题考查容斥原理中的二集合容斥原理，用公式法解题。
第二步，设两种都想吃的人数为2x，那么都不想吃的人数为7x，那么根据公式有：总数－7x=6＋8－2x，那么总数=14+5x，最少有19个人。
因此，选择C选项。

4、

第一步，本题考查二集合容斥原理，用公式法解题。
第二步，设两个频道都没看过的有x人，根据二集合容斥公式，可列100＝62＋34－11＋x，解得x＝15（也可利用尾数法，得到尾数为5）。
因此，选择B选项。

5、

第一步，本题考查数列问题。
第二步，由题干可知，搭建的5层礼物墙各层的礼物盒数量满足等差数列，根据等差数列求和公式=中位数×项数，可知总和为120且项数为5的等差数列的中位数=120÷5=24，5项的等差数列的中位数是第3项，满足首项＋2d=24，则首项=24-2d。
第三步，由于24和2d均为偶数，根据奇偶特性，首项也为偶数，代入不同的公差，则首项可取值2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，共11个，即有11种方式。
因此，选择B选项。

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