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数量关系之其他排列组合

1、某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共5道题。计分方式如下：每个家庭有10分为基础分；若抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分；抢答不到题目不得分。那么，一个家庭在抢答环节有可能获得（        ）种不同的分数。

A、18

B、21

C、25

D、36

2、小张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道（软件公司在华兴园的东北方）。假如他只能向东或者向北行走，则他上班不同走法共有：
       

A、12种

B、15种

C、20种

D、10种

3、春风街道办事处为丰富老年人文化生活，准备举办老年人才艺秀活动，活动项目共有书法、绘画、歌曲演唱、太极拳四项。参加者报名项数不限、每种报名方式最多可报4人。经统计，共有3人同时报名参加书法和绘画项目。据此，参加老年才艺秀活动最多报名（        ）人。

A、68

B、73

C、45

D、47

4、A和B为正方体两个相对的顶点，一个点从A出发沿正方体表面以最短路径移动到B，则其可选择的路线有几条？

A、2

B、3

C、6

D、12

5、小明参加迷宫游戏，迷宫设在圆形区域内（布局如下图所示），游戏规定只能向正东或正南方向行走，那么小明从迷宫入口到出口共有（  ）种走法。

A、2

B、4

C、6

D、8

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查排列组合问题。
第二步，分类讨论：
①没有抢到题，得分情况有1种；
②抢到1道题，得分情况有2种（对1、错1）；
③抢到2道题，得分情况有3种（对2、错2、对1错1）；
④……
以此类推，抢到n道题时，得分情况有n＋1种。
第三步，抢答5道题不同的分数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（种）。
因此，选择B选项。

2、

第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合。
第二步，无论如何小张都需经过五条街道，且仅选择2次向东（剩余向北）或3次向北（剩余向东）才能到达目的地。因此，上班的不同走法就是从这五条街道里选出两条向东的，或者三条向北的。故走法有（种）。
因此，选择D选项。

3、

解法一：
第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合。
第二步，活动项目共有四项，则报名方式分类如下：
①只报一种，有＝4（种）；
②只报两种，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除，有＝5（种）；
③只报三种，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除，有＝2（种）；
④报四种，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除，有0种。
因此，把同时报名了书法和绘画项目的方式剔除后一共有4＋5＋2＝11（种）。
第三步，要求报名人数最多，则每种报名方式应尽量多。根据每种报名方式最多可报四人，有三人同时报名参加书法和绘画项目，可知最多报名人数为11×4＋3＝47（人）。
因此，选择D选项。
解法二：
第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合，用数字特性法解题。
第二步，设剔除同时报名了书法和绘画项目的方式后有x种方式，可知最多报名人数为（4x＋3）人。即答案－3能被4整除。只有D选项满足。
因此，选择D选项。

4、

第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合，用数形结合法解题。
第二步，从正方体一个顶点出发，沿正方体表面移动到相对顶点，最短路径要经过两个平面，展开如图1。包含顶点B的平面有3个，每个面有2条路径（如图2），最短路径共有3×2＝6（条）。

因此，选择C选项。

5、

第一步，本题考查排列组合问题，用枚举法解题。
第二步，过A点的有1条，过B点且过C点的有两条，过B点不过C点只有一条，则从图中可以数出来共有4条。

因此，选择B选项。

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