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数量关系之约数倍数问题

1、设有编号为1、2、3、…、10的10张背面向上的纸牌，现有10名游戏者，第1名游戏者将所有编号是1的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号是2的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，……，第n名（n10）游戏者，将所有编号是n的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正面向上的最大编号与最小编号的差是：

A、2

B、4

C、6

D、8

2、屋里有编号为1—7的七盏灯，最开始每盏都是亮着的。第一个人进去把编号为1的倍数的灯开关按了一遍，第二个人进去把编号为2的倍数的灯开关按了一遍，第三个人进去把编号为3的倍数的灯开关按了一遍；第四个人进去把编号为1的倍数的灯开关按了一遍，第五个人进去把编号为2的倍数的灯开关按了一遍，第六个人进去把编号为3的倍数的灯开关按了一遍，以此类推。那么第十个人按完的时候，有几盏灯是亮着的？

A、1

B、3

C、4

D、无法判断

3、某单位有不到100人参加远足活动，如将该单位人员平均分成N组（N>1且每组人数>1），则每组的人数有且仅有6种不同的可能性。则该单位参加活动的人数可能的最小值和最大值之间相差多少人？

A、32

B、48

C、56

D、64

4、将100张卡牌分别标号1—100放在桌子上，先拿出编号为3的倍数的卡牌，再拿出编号为4的倍数的卡牌。那么现在桌上还剩余多少张卡牌？

A、33

B、45

C、50

D、58

5、地上画有45行、2列的方格阵列，45名运动员在靠左的一列站成纵队，每人站在一个方格内，且所有运动员从前到后按1—45依次编号。当听到第一声哨响时，所有编号为1的倍数的人移动到自己所在位置同一行的另外一个方格中，往后听到第n次哨响时，所有编号为n的倍数的人都要移动到自己所在位置同一行的另一个方格中。那么哨响4次之后，站在左边一列的人比站在右边一列的人：

A、少5人

B、少9人

C、多5人

D、多9人

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查约数倍数问题，用枚举法解题。
第二步，翻成正面向上，需要翻奇数次。利用枚举法，最大编号由最大值10开始代入，最大数字10的约数有1、2、5、10，共被翻四次，排除；9的约数有1、3、9，共被翻三次，符合。
第三步，最小编号由1开始代入，最小数字1的约数只有1，符合正面向上。故最大编号与最小编号差是9－1＝8。
因此，选择D选项。

2、

第一步，本题考查基础计算中的约数倍数问题。
第二步，本题采用枚举法逐盏灯来看。首先判断被按了奇数次开关的灯会灭，偶数次的还亮着。第一个人按的是1—7号所有灯的开关，第二个人按的是2、4、6三盏灯的开关、第三个人按的是3、6两盏灯的开关。这样循环三次；第十个人等同于第一个人。
第三步，①编号为1的灯有第1、4、7、10共四个人按，经过偶数次那么还亮着；编号为5、7的灯情况等同于1号灯也亮着。
②编号为2的灯除了有第1、4、7、10四个人外还有三个人按，共七个人按，经过奇数次那么灭了；编号为3和4的灯情况等同于2号灯灭了。
③编号为6的灯除了有第1、4、7、10四个人外还有2×3=6（人）按，共十个人按，经过偶数次那么还亮着。
第四步，共有1、5、6、7四盏灯亮着。
因此，选择C选项。

3、

第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，该单位的人员总数能平均分成N组，要求其中N＞1且每组人数＞1，设每组人数为M，则总人数=N×M。由题意M有且仅有6种不同可能，即总人数应该有且仅有除了1和本身之外的6个约数。
第三步，100以内除了1和本身外有6个约数的至少是2×2×2×3=24（约数为2、3、4、6、8、12），代入选项，从最大的D开始，相差64则最大是88，约数除了1和88外有2、4、8、11、22、44共6个，满足题意。
因此，选择D选项。

4、

第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，卡牌编号为3的倍数有100÷3＝33……1，即33张，编号为4的倍数的卡牌有100÷4＝25，即25张。这些卡牌中编号既是3的倍数又是4的倍数的有100÷12＝8……4，即8张，那么一共拿走了33＋25－8＝50（张）卡牌，那么剩余卡牌数量为100－50＝50（张）。
因此，选择C选项。

5、

第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，45人均位于左侧，1—45都是1的倍数，则第一声哨响45人均移动到右侧；同理第二声哨响，22个偶数号移动到左侧，此时左侧22个偶数、右侧23个奇数。
第三步，3的倍数共个，其中个偶数，8个奇数，即7个编号为6的倍数的人从左向右移动、8个编号为3的奇数倍数的人从右向左移动，此时左侧23、右侧22。
第四步，4的倍数共个，其中个同时是3的倍数（这3个编号此时位于右侧），其余8个位于左侧，左右互换即左侧减少5人、右侧增加5人，最终左侧23-5=18人、右侧22+5=27人，左边一列比右边一列少27-18=9人。
因此，选择B选项。

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