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数量关系之二集合容斥类

1、市里举办数学和物理竞赛，某班有85%的学生报名参加竞赛。已知报名参加数学竞赛和物理竞赛的人数之比为1︰2，两个竞赛都参加的人数占只参加物理竞赛人数的40%，问该班级未参加竞赛的人数占只参加物理竞赛的：

A、

B、

C、

D、

2、某企业共有92名员工，经统计发现该企业员工中喜欢吃饺子的有45人，只喜欢吃面条的与两样都喜欢吃的人数之比为3∶1，面条和饺子都不爱吃的有17人，那么只喜欢吃饺子的有多少人？

A、35

B、30

C、25

D、20

3、运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1—100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？

A、46

B、47

C、53

D、54

4、某班共有60名学生，在第一次测验中有32人得满分，在第二次测验中有27人得满分。如果两次测验中都没有得满分的学生有17人，那么两次测验中都获得满分的人数是多少？

A、13人

B、14人

C、15人

D、16人

5、两人参加竞赛，甲做错了总数的，乙做错了6道题，两人都做错了总数的，两人都做对的题有（    ）道。

A、5

B、6

C、7

D、8

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查容斥问题中二集合容斥类问题。
第二步，赋值两个竞赛都参加的为4人，则只参加物理竞赛的人数为（人），根据“参加数学竞赛和物理竞赛的人数之比为1︰2”可得参加数学竞赛的人数为（4+10）×=7（人），则参加竞赛的总人数为7+14-4=17（人），未参加竞赛的人数为（人）。
第三步，该班级未参加竞赛的人数占只参加物理竞赛的。
因此，选择D选项。

2、

第一步，本题考查容斥原理中的二集合容斥原理，用公式法解题。
第二步，设两样都喜欢吃的有x人，那么只喜欢吃面条的有3x人，那么喜欢吃面条的有4x人，根据二集合容斥原理公式可列方程：45＋4x－x＝92－17，解得x＝10，即有10人两样都喜欢吃，那么只喜欢吃饺子的有45－10＝35（人）。
因此，选择A选项。

3、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。
第二步，编号为3的倍数的运动员有100÷3＝33…1，即33人；
编号为5的倍数的运动员有100÷5＝20（人）；
同时是3、5的倍数的运动员（15的倍数）有100÷15＝6…10，即6人。
第三步，设既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有x人，根据二集合容斥公式，可得100＝33＋20－6＋x，解得x＝53（或可用尾数法）。
因此，选择C选项。

4、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。
第二步，设两次测验中都获得满分的人数为x人，由二集合容斥公式，可得60－17＝32＋27－x，解得x＝16。
因此，选择D选项。

5、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。
第二步，设总题数为x道，两人都对的有y道，代入数据即x-y=，化简得y+6=。
第三步，由x、y均为整数，x只能是15的倍数，当x＝15时，y＝7，即两人都对了7道题。
因此，选择C选项。

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