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数量关系之二集合容斥类

1、野生动物保护机构考查某圈养动物的状态，在n（n为正整数）天中观察到：（1）有7个不活跃日（一天中有出现不活跃的情况）；（2）有5个下午活跃;（3）有6个上午活跃；（4）当下午不活跃时，上午必活跃。则n等于：

A、7

B、8

C、9

D、10

2、某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？

A、28

B、26

C、24

D、22

3、一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为：

A、

B、

C、

D、

4、某单位组织员工进行爱心募捐，鼓励员工捐款捐物，所有员工都参加了，其中捐物的有45人，捐款的有75人，既捐款又捐物的有31人，则该单位共有员工（        ）人。

A、89

B、90

C、95

D、99

5、甲、乙两个单位分别有60和42名职工，共同成立A、B两个业余活动小组，所有职工每人至少参加1个。乙单位职工中仅参加A组的人数是只参加一个小组人数的60%，乙单位职工中参加B组的人数与参加A组的人数之比为3∶4，参加B组的人中，甲单位职工占。问有多少人仅参加A组?

A、35

B、42

C、46

D、56

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。
第二步，根据条件④可以推出：没有上下午都不活跃的情况。总天数为n天，则上下午都活跃的天数是n－7。代入二集合容斥公式：总天数－上下午都不活跃＝上午活跃＋下午活跃－上下午都活跃，可得n＝5＋6－（n－7）。解得n＝9（天）。
因此，选择C选项。

2、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。
第二步，设同时参加两科竞赛的有x人，根据二集合容斥公式得，60＝30＋32－x＋20，解得x＝22。
因此，选择D选项。

3、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用赋值法解题。
第二步，如图，赋值两个景点都去的人数为1，根据和是A、B都去的3倍，可知只去A和没去A（即阴影部分）的人数之和为3，总人数为1＋3＝4。

第三步，只去一个景点的人数占比为。
因此，选择B选项。

4、

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。
第二步，根据二集合容斥原理公式，总数－两者都不满足的个数＝满足条件1的个数+满足条件2的个数－两者都满足的个数，所有员工都参加了，故两者都不满足的为0，代入数据，得总数＝45＋75－31＝89。
因此，选择A选项。

5、

第一步，本题考查容斥问题。
第二步，设乙单位只参加一个小组的人数为5x，则只参加A组的有60%×5x=3x名职工，那么只参加B组的有5x－3x=2x名职工，设乙单位AB组都参加的有y人。可列方程：（2x＋y）∶（3x＋y）＝3∶4，解得x＝y，那么乙单位中参加B组的有3x人，参加A组的有4x人，AB都参加的有x人，可列方程：3x＋4x－x＝42，解得x＝7，那么参加B组的有21人，只参加A组的有21人。
第三步，参加B组的人中，甲单位职工占，则乙单位职工占，甲、乙职工人数之比为5：3，可得甲单位参加B组的有21×＝35（人），那么甲单位只参加A组的有60－35＝25（人），那么两个单位只参加A组的有21＋25＝46（人）。
因此，选择C选项。

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