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数量关系之容斥问题

1、相对面教育组织古北水镇一日游，共72名老师报名参加了水镇温泉和水镇听戏两个项目中的至少一个。其中，只参加了水镇温泉的人数是参加水镇听戏的一半，是两个都参加了的人数的2倍。则只去了水镇听戏的老师比只去了水镇温泉的多多少人？

A、12

B、24

C、60

D、36

2、某班有51人，某次举行联欢会，按姓氏排名依次从1开始报数，其中，报数是2的倍数的学生可拿一份苹果，报数是3的倍数的学生可拿一份香蕉，报数是5的倍数的学生可拿一份凤梨，其余学生可拿一份葡萄。问只拿一份水果的学生有多少名？

A、36

B、37

C、22

D、23

3、六年级一班有学生50人，第一次考试有38人及格，第二次考试有24人及格，其中两次考试都及格的有20人，两次考试都不及格的有多少人？

A、6

B、12

C、8

D、10

4、某单位员工总数是480人，在第一次体检中有320人合格，在第二次体检中有240人合格，若两次体检中都没合格的有40人，那么两次体检都合格的人数是：

A、80

B、100

C、120

D、140

5、某委员会有成员366人，要求必须对2个提案分别提出赞成或反对意见且每个人都至少赞成1个提案。其中两个提案都赞成的人数是只赞成第二个提案人数的一半，是赞成第一个提案的1/4。问赞成第一个提案且反对第二个提案的有多少人？

A、168

B、244

C、122

D、183

【参考答案及解析】

1、

       第一步，本题考查二集合容斥问题。
       第二步，设两个项目都去了的老师数为x，则只去水镇温泉的人数为2x，参加水镇听戏的人数为4x，有72=2x+4x，解得x=12。则只去了水镇听戏的老师比只去了水镇温泉的多3x-2x=x=12。
       因此，选择A选项。

2、

第一步，本题考查容斥问题。
第二步，根据三集合补充公式：只一+只二+只三=整体－都不，即三个数中只报一个数（只拿苹果、香蕉、凤梨中的一个）+三个数中只报两个数（苹果、香蕉、凤梨三种水果中拿两个）+三个数都报（苹果、香蕉、凤梨都拿）=整体－三个数都没报（拿葡萄）。
第三步，报数2和3的人数=51÷6=8……3，即8人；报数2和5的人数=51÷10=5……1，即5人；报数3和5的人数=51÷15=3……6，即3人；报数2、3和5（拿苹果、香蕉和凤梨）的人数=51÷30=1……21，即1人。则只报两个数（苹果、香蕉、凤梨三种水果中拿两个）+三个数都报（苹果、香蕉、凤梨都拿）=报两个数－2×三个数都报=8+5+3－2×1=14人。
第四步，只拿一种水果，即只拿苹果、香蕉、凤梨、葡萄中一个的人数=51－14=37（人）。
因此，选择B选项。

3、

第一步，标记量化关系“都”、“都不”。
       第二步，设“都不”及格有人，根据二集合公式可得，解得。因此，选择C选项。

4、

5、

       第一步，本题考查容斥问题。
       第二步，根据两个提案都赞成的人数是只赞成第二个提案人数的一半，是赞成第一个提案的1/4，可设两个提案都赞成的人数为x，则如图所示：
       
       则有3x+x+2x=366，解得x=61，则3x=183。
       因此，选择D选项。

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