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数量关系之容斥问题

1、某外语班的30名学生中，有8人学习英语，12人学习日语，3人既学英语也学日语，问有多少人既不学英语又没学日语？

A、12

B、13

C、14

D、15

2、某大型相亲类综艺节目办线下联谊活动，在签到时每人可以抽取一张礼物卡，凡是抽中有编号的礼物卡均有玫瑰花赠送，抽到“谢谢参与”的则送一盒面巾纸。带有编号的礼物卡共100张，编号1—100，按礼物卡标签号发放奖品的规则如下：
（1）标签号为2的倍数，领2枝玫瑰。
（2）标签号为3的倍数，领3枝玫瑰。
（3）标签号既是2 的倍数，又是3的倍数可重复领奖。
（4）其他标签号均领1枝玫瑰。
那么本次联谊活动应准备玫瑰花（   ）枝。

A、215

B、232

C、312

D、416

3、某单位员工总数是480人，在第一次体检中有320人合格，在第二次体检中有240人合格，若两次体检中都没合格的有40人，那么两次体检都合格的人数是：

A、80

B、100

C、120

D、140

4、某班级期末考试中，有30人的数学得满分，有24人的语文得满分，有28人的英语得满分，其中数学和语文都得满分的有7人，语文和英语都得满分的有8人，数学和英语都得满分的有9人，有3人这三个科目中没有任何一个科目得满分。问这个班级最多有多少人？

A、82

B、78

C、68

D、62

5、某委员会有成员366人，要求必须对2个提案分别提出赞成或反对意见且每个人都至少赞成1个提案。其中两个提案都赞成的人数是只赞成第二个提案人数的一半，是赞成第一个提案的1/4。问赞成第一个提案且反对第二个提案的有多少人？

A、168

B、244

C、122

D、183

【参考答案及解析】

1、

第一步，标记量化关系“既不”、“又没”
       第二步，设“既不”学英语“又没”学日语的人数为，根据二集合容斥原理可得：，解得：人。因此，选择B选项。

2、

第一步，本题考查容斥问题，用公式法解题。
第二步，1至100中，是2的倍数的有100÷2=50张，是3的倍数有100÷3=33……1，即33张，是6（2和3的最小公倍数）的倍数的有100÷6=16……4，即16张。
第三步，2的倍数可以领50×2=100（枝）；3的倍数可以领33×3=99（枝）；其余编号可以领100－（50＋33－16）=33（枝），则应准备玫瑰花100＋99＋33＝232（枝）。
因此，选择B选项。

3、

4、

第一步，本题考查容斥问题中三集合标准型公式。
第二步，设三科都得满分的有x人，总人数－3=30+24+28－7－8－9+x，化简得总人数=61+x。
第三步，三科都得满分的人数不超过两科都满分的人数，即x7。因此，总人数最多有61+7=68人。
因此，选择C选项。

5、

       第一步，本题考查容斥问题。
       第二步，根据两个提案都赞成的人数是只赞成第二个提案人数的一半，是赞成第一个提案的1/4，可设两个提案都赞成的人数为x，则如图所示：
       
       则有3x+x+2x=366，解得x=61，则3x=183。
       因此，选择D选项。

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