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数量关系之三集合容斥类

1、某部门有170人均参加了为期三天的郊游。其中，第一天的参加人数为83人，第二天的参加人数为76人，第三天的参加人数为54人，有部分人员参加了两天的郊游，则整个郊游都参加的人数最多为多少人？（假设不存在参加天数为半天的情况）

A、22

B、21

C、43

D、42

2、某单位对72名员工进行调查，发现去过香港的有33人，去过澳门的有38人，去过台湾的有47人，香港和澳门都去过的有20人，香港和台湾都去过的有23人，澳门和台湾都去过的有25人，三个地方都去过的有15人，那么只去过港澳台中一个地方的有多少人？

A、18

B、24

C、27

D、33

3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？

A、120

B、144

C、177

D、192

4、春晚结束后，某电台随机对100名观众进行了调查，其中喜欢沈腾的小品的有56人，喜欢蔡明的小品的有38人，喜欢岳云鹏相声的有47人，三个节目都喜欢的有19人，喜欢两个节目的有15人，那么3个节目都不喜欢的有多少人？

A、10

B、12

C、14

D、16

5、为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动有189人，参加象棋活动有152人，参加羽毛球活动有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为：

A、233

B、252

C、321

D、520

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查容斥问题。
第二步，根据“有部分人员参加了两天的郊游”，则参加两天郊游的人数≥1，问的是参加三天郊游的人数最多，则参加两天郊游的人数应最少，为1。
第三步，设整个郊游都参加的人数最多为x，根据三集合非标准公式，可得83＋76＋54－1－2x＝170，解得x＝21人。
因此，选择B选项。

2、

解法一：第一步，本题考查容斥原理，用公式法解题。
第二步，设三个地方都没去过的有x人。根据三集合标准型公式可列方程：33＋38＋47－20－23－25＋15＝72－x，解得x＝7，即有7人三个地方都没去过。
第三步，设只去过两个地方的有y人。根据三集合非标准型公式可列方程：33＋38＋47－y－2×15＝72－7，解得y＝23，即有23人只去过两个地方。
第四步，只去过港澳台中一个地方的有72－23－15－7＝27（人）。
因此，选择C选项。
解法二：第一步，本题考查容斥原理，用图示法解题。
第二步，画图如下，注意从中心往外标数：

第三步，由图可知，只去过港澳台中一个地方的有5＋8＋14＝27（人）。
因此，选择C选项。

3、

第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。
第二步，根据三集合容斥非标准公式（总体I＝条件A＋条件B＋条件C－只满足两个条件－2×满足三个条件＋都不满足条件），可知接受调查的学生共有63＋89＋47－46－24×2＋15＝120（人）。
因此，选择A选项。

4、

第一步，本题考查三集合容斥问题，用公式法解题。
第二步，根据三集合非标准型公式，喜欢沈＋喜欢蔡＋喜欢岳－喜欢两个节目的－2×喜欢三个节目的＝总人数－三个节目都不喜欢的，设三个节目都不喜欢的有x人，代入数据得，56＋38＋47－15－2×19＝100－x，解得x＝12（或者尾数法）。
因此，选择B选项。

5、

第一步，本题考查容斥原理，属于三集合容斥类。
第二步，根据三集合非标准型公式：总数－都不满足＝A＋B＋C－只满足两项－2×三项都满足，代入数据：职工总人数为189＋152＋135－130－2×69＋44＝252（或使用尾数法，尾数为2）。
因此，选择B选项。

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